Principe multiplicatif

Propriété

Soit \(k\)   un entier naturel non nul \(\) .
Soit \(k\) ensembles non vides \(E_1, E_2, ..., E_k\) .
Lorsque les ensembles \(E_1, E_2,...,E_k\) sont finis, on a :
\(\text{Card}(E_1 \times E_2 \times \cdots{} \times E_k)=\text{Card}(E_1)\times \text{Card}(E_2)\times \cdots{} \times \text{Card}(E_k)\) .

En particulier, lorsque \(E_i=E\) pour tout \(i\) allant de \(1\) à \(k\) , on obtient : \(\text{Card}(E\times E \times \cdots{} \times E)= \text{Card}(E^k)=\text{Card}(E)\times \text{Card}(E)\times \cdots{}\times \text{Card}(E)= ( \text{Card}(E))^k\)

Exemples

• On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées  \(1\) à \(6\) et un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées \(1\) à \(4\) . Le nombre de résultats possibles à l'issue de ces deux lancers est :  \(6 × 4 = 24\) .
  
• On lance deux fois un dé équilibré à \(6\)  faces numérotées   \(1\) à \(6\) . Le nombre de couples possibles de résultats de ces lancers est de \(6^2 = 36\) .
  
• On lance \(10\) fois une pièce équilibrée. Le nombre de mots à \(10\) lettres, formés avec les lettres \(P\) et \(F\) , possibles est de  \(2^{10} = 1\,024\) .